الرياضيات في التعلم العميق - الجزء الثامن

 

لقد تطرقنا في الأجزاء السابقة إلى بعض أنواع المصفوفات المهمة المستخدمة في الجبر الخطي وكذلك المتجهات, وسوف نتطرق في هذا الجزء إنشاء ألله تعالى إلى بعض الأنواع من المتجهات والمصفوفات الخاصة والتي لابد منها في فهم المواضيع القادمة التي سوف نتطرق إليها.

الرياضيات في التعلم العميق

Mathematics for deep learning

الجزء الثامن     (Part Eight)

إعداد

المهندس حسن فنجان عداي

مقدمة:

بسم إلله الرحمـن الرحيـم

لقد تطرقنا في الأجزاء السابقة إلى بعض أنواع المصفوفات المهمة المستخدمة في الجبر الخطي وكذلك المتجهات, وسوف نتطرق في هذا الجزء إنشاء ألله تعالى إلى بعض الأنواع من المتجهات والمصفوفات الخاصة والتي لابد منها في فهم المواضيع القادمة التي سوف نتطرق إليها.

أنواع خاصة من المصفوفات والمتجهات

(Special Kinds of Matrices and Vectors)

1 – المصفوفات القطرية (Diagonal matrices):

المصفوفة القطرية هي المصفوفة التي تكون قيم جميع عناصرها أصفاراً ماعدا القطر الرئيسي, وتعتبر مصفوفة الآحاد (Identity matrix) أحد أنواع هذه المصفوفات حيث إنَّ جميع عناصر قطر المصفوفة آحاد, وقد تطرقنا إليها في المواضيع السابقة.

الشكل التالي يوضح أحد المصفوفات القطرية:

يرمز للمصفوفة القطرية المربعة بالرمز (diag(v)), حيث إنَّ المتجه (v) يحتوي على عناصر القطر المركزي للمصفوفة القطرية.

من فوائد المصفوفة القطرية المهمة هي السهولة البالغة في الحسابات عند ضرب أي عنصر بهذا النوع من المصفوفات, فلو ضربنا مصفوفة قطرية في متجه (diag(v)x), فإنَّ كل ماعلينا فعله هو ضرب كل عنصر من المتجه (x) أي (xi) بما يناظره من عناصر المتجه (v) أي (vi), ونستطيع التعبير عن ذلك بالعلاقة التالية:

ونستطيع حساب معكوس المصفوفة القطرية إذا كانت مربعة حسب القاعدة التالية:

في حالات العمل على صياغة خوارزميات تعلم الآلة نلجأ أحياناً إلى جعل المصفوفات من نوع المصفوفات القطرية لأجل سهولة الحسابات.

لايشترط بأن تكون جميع المصفوفات القطرية مربعة.

 بالرغم من أنَّ المصفوفات الغير مربعة لايوجد لها معكوس, إلاّ أنها تبقى مفيدة جداً من ناحية سهولة الحسابات. الشكل أدناه يوضح أنواع من المصفوفات القطرية:

مثال رقم (1):

عملية تمثيل المصفوفة القطرية بواسطة متجه:

في هذا المثال نوضح عملية تمثيل المصفوفة القطرية بواسطة متجه وكما يلي:

والآن نستخدم مكتبة (Numpy) للقيام بعملية تمثيل المصفوفة بواسطة متجه وكما موضح أدناه:

مثال رقم (2):

عملية ضرب مصفوفة قطرية مربعة مع متجه:

في هذا المثال نقوم بعملية ضرب بين مصفوفة قطرية ومتجه لنرى أن النتيجه هي فقط ضرب كل عنصر من القطر الرئيسي للمصفوفة مع العنصر المقابل له من حيث الترتيب للمتجه, وكما مبين في الشكل أدناه:

فلو كانت لدينا المصفوفة القطرية المربعة التالية:

وأردنا ضربها في المتجه:

فإنَّ عملية الضرب سوف تكون كما يلي:

نلاحظ بأننا حصلنا على متجه هو نفس المتجه الأصلي ولكن عناصره قد تم ضربها بما يقابلها من عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة القطرية, فلهذا تكون العملية في غاية السهولة وهذه من فوائد المصفوفة القطرية.

مثال رقم (3):

عملية ضرب مصفوفة قطرية غير مربعة مع متجه:

في هذا المثال سوف نقوم بعملية ضرب بين مصفوفة قطرية غير مربعة ومتجه, فإذا كانت لدينا المصفوفة القطرية التالية:

وأردنا ضربها في المتجه:

فإننا سوف نحصل على النتيجة التالية:

نلاحظ بأننا أيضاً حصلنا على متجه هو نفس المتجه الأصلي ولكن تم ضرب عناصره في عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة القطرية, كذلك تمت إضافة عنصر رابع إلى المتجه قيمته صفر.

مثال رقم (4):

إيجاد معكوس المصفوفة القطرية:

لو كانت لدينا المصفوفة القطرية التالية:

فإنَّ عملية حساب المعكوس لهذه المصفوفة تتلخص بأن نقوم بتبديل عناصر القطر الرئيسي لها بمقلوبات تلك العناصر وكما موضح بالشكل أدناه:

وللتأكد من النتيجة نقوم بعملية ضرب بين المصفوفة الأصلية ومعكوس المصفوفة الذي حسبناه الآن فيجب أن تكون النتيجة عبارة عن مصفوفة آحاد (Identity matrix), وكما موضح أدناه:

2 – المصفوفات المتماثلة (Symmetric matrices):

وهي المصفوفة التي تتساوى مع منقولها (Transpose), أي:

وهذا النوع من المصفوفات يشمل المصفوفات المربعة فقط.

والشكل التالي يوضح مصفوفة متماثلة:

متجهات الوحدة (Unit vectors)

متجه الوحدة هو المتجه الذي يكون معياره ذو المرتبة الثانية (L² Norm) أو المسافة الأقليدية له أو طوله واحد (1), أي : 

ويرمز له بالرمز: 

المتجهات المتعامدة (Orthogonal vectors)

المتجهان المتعامدان هما المتجهان الذين تكون الزاوية بينهما (90) درجة, ويكون حاصل ضربهما حسب قانون ضرب المصفوفات هو صفر, فإذا كان (x) و (y) هما متجهين متعامدين, وكان لهما معيارين ليسا صفرين فإنَّ:

مثال رقم (5):

إجراء عملية ضرب بين متجهان متعامدان:

لو كان لدينا المتجهان المتعامدان:

وأردنا إجراء عملية ضرب فيما بينهما فإن النتيجة سوف تكون صفراً وكما موضح أدناه:

ملاحظة:

1 - عندما يكون كلا المتجهين ذات معيار أقليدي أو طول يساوي (1), عندئذ يسميان (Orthonormal).

2 – في فضاء المتجهات ذو (n) من الأبعاد الحقيقية لايمكننا الحصول على عدد اكبر من (n) من المتجهات المتعامدة المتبادلة (Mutually orthogonal).

المصفوفات المتعامدة (Orthogonal matrices)

المصفوفة المتعامدة هي عبارة عن مصفوفة مربعة تكون صفوفها متعامدة وكل عمود له طول مقداره (1) (Orthonormal) بشكل متبادل وتكون أعمدتها متعامدة (Orthonormal) بشكل متبادل, فلو كانت لدينا المصفوفة التالية:

فلكي تكون هذه المصفوفة متعامدة (Orthogonal matrix) فيجب أن تكون أعمدتها:

عبارة عن متجهات متعامدة وكل متجه له طول مقداره (1), كذلك يجب أن تكون صفوفها:

عبارة عن متجهات متعامدة وكل متجه له طول مقداره (1).

خصائص المصفوفات المتعامدة

خاصية رقم (1)  (Property 1) :

عملية ضرب منقول (Transpose) المصفوفة المتعامدة في المصفوفة نفسها تنتج مصفوفة آحاد (Identity matrix):

ويمكن البرهنة على ذلك كما يلي:

نفرض لدينا المصفوفة التالية:

نقوم أولاً بإستخراج منقولها (Transpose):

بعدها نقوم بضرب هذا المنقول بالمصفوفة نفسها:

المهندس حسن فنجان عداي